Escenario

El sistema está formado por dos masas $m_1$ y $m_2$ unidas por una cuerda inextensible que pasa por una polea con masa M que puede girar sin rozamiento.

Tanto la masa $m_1$ como la masa $m_2$ cuelgan de la polea.

Para los cálculos usaremos el valor $g = 9.8 \ m/s^2$.

Análisis

Tenemos los siguientes datos:

• Valor de la masa $m_1$ en kg
• Valor de la masa $m_2$ en kg
• Valor de la masa $M$ de la polea en kg
• Valor de $g = 9.8 \ m/s^2$

Como la cuerda es inextensible la aceleración con la que se mueven las dos masas será la misma.

Como la polea tiene masa, habrá momento de inercia y la tensión de la cuerda sobre la masa $m_1$ tendrá un valor diferente a la tensión sobre la masa $m_2$.

Resolución

Para el cuerpo 1:

Si suponemos que el movimiento del cuerpo $m_1$ es hacia arriba, aplicando la 2ª Ley de Newton tenemos:

$$\sum F = m \cdot a$$ Dado que las dos fuerzas que intervienen están en la dirección del movimiento, la resultante $\sum F$ será la diferencia entre la fuerza a favor de movimiento (tensión $T_1$) y la fuerza en contra (peso $m_1 g$):   $$T_1 - m_1 g = m_1 a$$ (1)

Para el cuerpo 2:

El movimiento del cuerpo $m_2$ será en sentido contrario al del cuerpo $m_1$, es decir hacia abajo, y si aplicando la 2ª Ley de Newton tenemos:

$$\sum F = m \cdot a$$ En este caso el peso del cuepo $m_2g $ está a favor del movimiento mientras que la tensión $T_2$ se opone al mismo, por lo tanto:   $$m_2 g - T_2= m_2 a$$ (2)

Para el movimiento de rotación de la polea

Observa que la polea tiene un movimiento de rotación pero no de traslación y por lo tanto las dos fuerzas que pasan por el eje de rotación no producen. Desde el punto de vista del giro de la polea ni la fuerza sobre el soporte $F_{ext}$ ni el peso de la polea $Mg$ producen torque porque actúan en el centro de masas, es decir a una distancia $R=0$ del eje de giro Por lo tanto, la ecuación de movimiento para la rotación de la polea es, por tratarse de una rotación en torno a un eje de simetría que pasa por el CM del sólido: $$\sum\tau= I \alpha$$ $$T_2R-T_1R = I \alpha$$ Recuerda que para un cilindro (polea) el momento de inercia es: $$I =\frac{1}{2} MR^2$$ Si sustituimos: $$(T_2-T_1)R = \frac{MR^2}{2}\alpha$$ y simplificamos: $$T_2-T_1 = \frac{MR}{2}\alpha$$

Teniendo en cuenta que la polea gira en contacto con la cuerda, es decir que la cuerda no desliza sobre la polea, se cumple que:

Si sustituimos en la última expresión:

Sumando por partes las ecuaciones (1), (2), (3) obtenemos

y si despejamos la aceleración:

Un vez que conocemos el valor de la aceleración podemos calcular la tensión $T_1$ a partir de la ecuación (1) y la tensión $T_2$ de la ecuación (2).